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引言
19世纪前期代数舞台的中心仍然是求解多项式方程这一代数基本问题，伽罗瓦明确而透彻地回答了哪些方程可用代数运算求解。他不仅创立了表达清楚的代数理论中最重要的主体，而且引入了新概念，这些新概念又发展为其它有广泛应用的代数理论，特别是他和阿贝尔提到的群和域的概念。
二项方程
之前 说到欧拉、范德蒙、拉格朗日、鲁菲尼为了代数求解四次以上方程和二项方程x^n-1=0所做的不完整尝试，其中高斯做了一个重要成果，他考察方程x^p-1=0(p是素数)，这个方程通常称为分圆方程或对圆进行分割的方程，因为由棣莫弗定理，这个方程的根是
这些复数xk几何作图时就是单位圆上正p边形的顶点。
高斯证明这个方程根可用一个方程序列Z1=0,Z2=0,...的根有理表示，方程系数是之前方程根的有理函数。Zk=0的方程系数正好是p-1的素因子。对每个因子，即使是重复因子，都有对应方程，每个方程都能用根式解出，于是原方程x^p-1=0也能同样解出。
这个结果对代数求解一般的n次方程具有重要意义，它表明某些高次方程能用根式解出。例如设5是p-1的一个因子，则有一个5次方程能用根式解出。这个结果对作正p边形的几何问题也具有重要意义（秃然意识到高斯拿圆规画正17边形的故事是假的），因为Zk=0序列中每个方程的次数都是2，而它的每个根都可通过系数求出，因此可作出边数为素数p（p-1是2的2^n次幂）的正多边形。当p=3,5,15,257,65537...即具有 形式的素数（这个形式得到的p可能不是素数，必须要素数才行）时，正p边形可尺规作图。高斯说，早在欧几里得时期人们就知道3，5，15边形和它们衍生的3*2^n,5*2^n,15*2^n还有2^n（n为正整数）正多边形的几何作图，但2000年了都没发现新的可作图的正多边形，几何学家声称没有可以作出的正多边形了，这不还有吗。
他认为之后可能有人想找新的可作图的边数为素数的正多边形，于是警告说：当p-1包含2以外的素数因子，意味着得到高次方程，比如3是p-1的一次或多次因子，就得到一个或多个三次方程，可严密证明高次方程不依赖于低次方程。所以大家不要浪费时间找其它素数变数的正多边形作图，比如7，11，13，19边的多边形。
他断言当且仅当 ,p是形为 的不同素数，l是正整数或0，正n边形是可作图的，这个条件的充分性容易从高斯关于边数为素数的多边形工作得出，但高斯没有证明不容易得出的必要性。
高斯从1796年（19岁）起就对正多边形作图发生兴趣，那时他构思了正17边形可作图的第一个证明，这也是个很有名的故事了（好的，所以只是被以讹传讹了）：一天高斯带着证明找他哥廷根大学的老师K?stner，结果老师不相信，想把他打发走，也懒得检查他的证明，就直接告诉高斯作图法不重要，大家都知道实际该咋画嘛，当然K?stner很清楚实际或近似的作图法跟可作图理论根本是两回事（老糊弄学了）。高斯为了使老师产生兴趣，说自己曾经解出了一个17次的代数方程，K?stner说这是不可能的，高斯说他化简成解一个低次的方程了，结果还是被K?stner嘲笑了。K?stner还炫耀过自己的诗集，后来高斯就回敬称他是数学家中最好的诗人和诗人中最好的数学家。
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